问答题
设f"(x)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】
【答案解析】[解] 令
，则F"(x)=f(x)，且F"""(x)∈C[a，b]．由泰勒公式得
两式相减，得
因为f"(x)∈C[a，b]，所以f"(x)∈C[ξ 1 ，ξ 2 ]，由闭区间上连续函数最值定理，f"(x)在区间[ξ 1 ，ξ 2 ]上取得最小和最大值，分别记为m，M，则有
再由闭区间上连续函数的介值定理，存在ξ∈[ξ 1 ，ξ 2 ]
(a，b)，使得
，从而有
，则F"(x)=f(x)，且F"""(x)∈C[a，b]．由泰勒公式得
两式相减，得
因为f"(x)∈C[a，b]，所以f"(x)∈C[ξ 1 ，ξ 2 ]，由闭区间上连续函数最值定理，f"(x)在区间[ξ 1 ，ξ 2 ]上取得最小和最大值，分别记为m，M，则有
再由闭区间上连续函数的介值定理，存在ξ∈[ξ 1 ，ξ 2 ]
(a，b)，使得
，从而有