问答题
设
【正确答案】正确答案：(1)用归纳法． 当n=3时，因
验证得A
3
=A+A
2
一E，故所证等式成立； 假设n=k-1(n≥3)时，A
k-1
=A
k-3
+A
2
一E成立，则 A
k
=A.A
k-1
=A(A
k-3
+A
2
一E)=A
k-2
+A
3
-A =A
k-2
+(A+A
2
-E)一A=A
k-2
+A
2
一E， 即n=k时成立．故A
n
=A
n-2
+A
2
一E对任意n(n≥3)成立． (2)由上述递推关系可得 A
100
=A
98
+A
2
—E=(A
96
+A
2
-E)+A
2
一E =A
96
+2(A
2
-E)=…=A
2
+49(A
2
-E) =
验证得A
3
=A+A
2
一E，故所证等式成立； 假设n=k-1(n≥3)时，A
k-1
=A
k-3
+A
2
一E成立，则 A
k
=A.A
k-1
=A(A
k-3
+A
2
一E)=A
k-2
+A
3
-A =A
k-2
+(A+A
2
-E)一A=A
k-2
+A
2
一E， 即n=k时成立．故A
n
=A
n-2
+A
2
一E对任意n(n≥3)成立． (2)由上述递推关系可得 A
100
=A
98
+A
2
—E=(A
96
+A
2
-E)+A
2
一E =A
96
+2(A
2
-E)=…=A
2
+49(A
2
-E) =
【答案解析】