问答题
已知A=-E+αβ
T
，其中
【正确答案】
【答案解析】[证明] (用特征值、用定义)记B=α
T
β，则A=-E+B．而
由于r(B)=1，α T β=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =3，故
|λE-B|=λ 3 -(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 )λ 2 =λ 3 -3λ 2 ．
所以矩阵B的特征值是3，0，0．
那么，矩阵A的特征值是2，-1，-1，故A可逆．
因为α T β=β T α=3，有B 2 =(αβ T )(αβ T )=α(β T α)β T =3B．
于是(A+E) 2 =3(A+E)，即A 2 -A=2E，亦即A·
(A-E)=E．
所以
由于r(B)=1，α T β=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =3，故
|λE-B|=λ 3 -(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 )λ 2 =λ 3 -3λ 2 ．
所以矩阵B的特征值是3，0，0．
那么，矩阵A的特征值是2，-1，-1，故A可逆．
因为α T β=β T α=3，有B 2 =(αβ T )(αβ T )=α(β T α)β T =3B．
于是(A+E) 2 =3(A+E)，即A 2 -A=2E，亦即A·
(A-E)=E．
所以