填空题
9.欧拉方程x2y''＋xy''－4y＝x3的通解为_________．
- 1、
【正确答案】
1、
【答案解析】【思路探索】利用欧拉方程固有的求解方法即可．
令
记
，则
原方程化为[D(D－1)＋D－4]y＝e3t，即
(D2－4)y＝e3t (*)
方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r2－4＝0，有根r1＝2，r2＝－2，故齐次方程的通解为
因为f(t)＝e3t，λ＝3不是特征方程的根，故可令y*＝ae3t是方程(*)的一个特解，代入原方程x2y''＋xy'－4y＝x3中，解得a＝1／5，即y*＝1／5e3t，因此原方程的通解为
故应填
令
记
，则原方程化为[D(D－1)＋D－4]y＝e3t，即
(D2－4)y＝e3t (*)
方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r2－4＝0，有根r1＝2，r2＝－2，故齐次方程的通解为
因为f(t)＝e3t，λ＝3不是特征方程的根，故可令y*＝ae3t是方程(*)的一个特解，代入原方程x2y''＋xy'－4y＝x3中，解得a＝1／5，即y*＝1／5e3t，因此原方程的通解为
故应填