解答题
18.设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f''(x)﹤0，试证明：
【正确答案】先证右边，令
F(x)＝∫axf(t)dt－f(
)(x－a)，x∈[a，b],
F'(x)＝f(x)－
。
由拉格朗日中值定理可得
，
则F'(x)＝
，由于f'(x)单调递减以及
，可知
，即F'(x)﹤0。则F(b)﹤F(0)＝0，
即∫abf(t)dt－f(
)(b－a)﹤0，整理可得
。
再证左边，令G(x)＝
，则
。
再由拉格朗日中值定理可知f(x)－f(a)＝(x－a)f'(ζ)，ζ∈(a，x)，从而
则G(b)﹤G(a)＝0，即
，
整理可得
F(x)＝∫axf(t)dt－f(
)(x－a)，x∈[a，b],F'(x)＝f(x)－
。由拉格朗日中值定理可得
，则F'(x)＝
，由于f'(x)单调递减以及，可知，即F'(x)﹤0。则F(b)﹤F(0)＝0，即∫abf(t)dt－f(
)(b－a)﹤0，整理可得。再证左边，令G(x)＝
，则。再由拉格朗日中值定理可知f(x)－f(a)＝(x－a)f'(ζ)，ζ∈(a，x)，从而
则G(b)﹤G(a)＝0，即
，整理可得
【答案解析】