问答题
设a与b都是常数且b＞a＞0．
(1)试写出yOz平面上的圆(y－b)
2
+z
2
=a
2
绕Oz轴一圈生成的环面S的方程；
(2)S所围成的实心环的空间区域为Ω，计算三重积分
【正确答案】正确答案：(1)用
替代(y－b)
2
+z
2
=a
2
中的y，便得S的直角坐标方程
(2)用柱面坐标，按先z再r后θ的次序，
=∫
0
2π
dθ∫
b－a
b+a
dr∫
z1
z2
r
3
(cosθ+sinθ)
2
dz， 其中
∫
0
2π
(cosθ+sinθ)
2
dθ=∫
0
2π
(1+2cosθsinθ)dθ=2π，
作积分变量替换t=r－b，得
再令t=asinu，从而
替代(y－b)
2
+z
2
=a
2
中的y，便得S的直角坐标方程
(2)用柱面坐标，按先z再r后θ的次序，
=∫
0
2π
dθ∫
b－a
b+a
dr∫
z1
z2
r
3
(cosθ+sinθ)
2
dz， 其中
∫
0
2π
(cosθ+sinθ)
2
dθ=∫
0
2π
(1+2cosθsinθ)dθ=2π，
作积分变量替换t=r－b，得
再令t=asinu，从而
【答案解析】