解答题
11.f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
f'(ξ)=2∫01f(x)dx．
f'(ξ)=2∫01f(x)dx．
【正确答案】因为f'(x)在[0，1]上连续，所以，f'(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x1，x2∈[0，1]，使f'(x1)=m，f'(x2)=M
由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)一f(0)=f'(η)x，于是有
f'(x)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f'(η)x≤Mx=f'(x2)x，
积分得
f'(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f'(x2)∫01xdx，
即
f'(x2)，即f'(x1)≤2∫01f(x)dx≤f(x2)。
因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2]
由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)一f(0)=f'(η)x，于是有
f'(x)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f'(η)x≤Mx=f'(x2)x，
积分得
f'(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f'(x2)∫01xdx，
即
f'(x2)，即f'(x1)≤2∫01f(x)dx≤f(x2)。因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2]
【答案解析】