问答题
已知二次型f(x1，x2，x3)=
问答题
求参数c及此二次型对应矩阵的特征值．
【正确答案】解 f对应的矩阵为
[*]
因其秩r(A)=2，故
[*]
解得c=3，容易验证此时A的秩的确是2．
或由
[*]
可知当且仅当c=3时r(A)=2．
这时
[*]
故所求特征值为λ1=0，λ2=4，λ3=9．
[*]
因其秩r(A)=2，故
[*]
解得c=3，容易验证此时A的秩的确是2．
或由
[*]
可知当且仅当c=3时r(A)=2．
这时
[*]
故所求特征值为λ1=0，λ2=4，λ3=9．
【答案解析】
问答题
指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何种二次曲面．
【正确答案】由上述特征值可知，f(x1，x2，x3)=1表示椭圆柱面．
【答案解析】本题考查二次型的秩的概念、矩阵的秩的计算、特征值的计算及二次曲面方程的识别等多个知识点．注意，空间直角坐标系中坐标轴围绕坐标原点的旋转变换必是正交变换，而正交变换化二次型f所成的标准形中，变量平方项的系数就是f的矩阵A的特征值，因此，当求出A的特征值时，也就求出了曲面f(x1，x2，x3)=1的标准方程．
问答题
已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换
【正确答案】解 由[*]与[*]相似得
[*]
解之得到a=3，b=1．(△另一解法：由特征值的性质得1+a+1=0+1+4，[*]=0×1×4=0，
解之得a=3，b=1)
计算可得，矩阵[*]的对应于特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4的单位特征向量分别可取为
[*]
因此所求正交矩阵P可取为
[*]
[*]
解之得到a=3，b=1．(△另一解法：由特征值的性质得1+a+1=0+1+4，[*]=0×1×4=0，
解之得a=3，b=1)
计算可得，矩阵[*]的对应于特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4的单位特征向量分别可取为
[*]
因此所求正交矩阵P可取为
[*]
【答案解析】本题仍然是二次型f通过正交变换化为标准形的问题，因为其实质是f的矩阵(实对称矩阵)的正交相似对角化，其运算涉及到求特征值和特征向量等基本运算且有重要应用，因此务必熟练掌握．
问答题
设A为m阶实对称阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．
【正确答案】证 必要性：设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即
(Bx)TA(Bx)＞0
于是Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，从而有，r(B)=n．
充分性：因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意实n维列向量x≠0．有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)=xT(BTAB)x＞0．于是当x≠0时，xT(BTAB)x＞0，故BTAB为正定矩阵．
(Bx)TA(Bx)＞0
于是Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，从而有，r(B)=n．
充分性：因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为实对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意实n维列向量x≠0．有Bx≠0．又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)=xT(BTAB)x＞0．于是当x≠0时，xT(BTAB)x＞0，故BTAB为正定矩阵．
【答案解析】本题考查利用定义证明正定性及齐次线性方程组只有零解(存在非零解)的充要条件．注意本题证明的关键是利用：方程组Bx=0只有零解[*]r(B)=n(n为B的列数)．另外，正定矩阵一定是实对称矩阵，所以充分性首先证明这一点．