设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f''(x)≥0．证明：
【正确答案】正确答案：由泰勒公式得
，其中ξ介于x与
之间，因为f''(x)≥0，所以有f(x)≥
，两边积分得∫
a
b
f(x)dx≥(b-a)
令φ(x)=
[f(x)+f(a)]-∫
a
x
f(t)dt，且φ(a)=0， φ'(x)=
[f(x)+f(a)]+
f'(x)-f(x)=
[f(x)-f(a)] =
(x-a)[f'(x)-f'(η)]，其中a≤η≤x， 因为f''(x)≥0，所以f'(x)单调不减，于是φ'(x)≥0(a≤x≤b)， 由
得φ(b)≥0，于是∫
a
b
f(x)dx≤
[f(a)+f(b)]， 故(b-a)
≤∫
a
b
f(x)dx≤
，其中ξ介于x与
之间，因为f''(x)≥0，所以有f(x)≥
，两边积分得∫
a
b
f(x)dx≥(b-a)
令φ(x)=
[f(x)+f(a)]-∫
a
x
f(t)dt，且φ(a)=0， φ'(x)=
[f(x)+f(a)]+
f'(x)-f(x)=
[f(x)-f(a)] =
(x-a)[f'(x)-f'(η)]，其中a≤η≤x， 因为f''(x)≥0，所以f'(x)单调不减，于是φ'(x)≥0(a≤x≤b)， 由
得φ(b)≥0，于是∫
a
b
f(x)dx≤
[f(a)+f(b)]， 故(b-a)
≤∫
a
b
f(x)dx≤
【答案解析】