问答题
将∫
0
1
dx∫
0
1－x
dy∫
0
x+y
f(x，y，z)dz化为先y，再x，后z的三次积分，其中f为连续函数．
【正确答案】正确答案：y，z的积分区域为D
yz
={(y，z)Θ0≤y≤1－x，0≤z≤x+y}(x视为[0，1]上的一个常数)，换序后D
yz
=D
1
∪D
2
，D
1
={(y，z)｜0≤z≤x，0≤y≤1－x}；D
2
={(y，z)｜x≤z≤1，z－x≤y≤1－x}，故 ∫
0
1－x
dy∫
0
x+y
f(x，y，z)dz=∫
0
x
dz∫
0
1－x
f(x，y，z)dy+∫
x
1
dz∫
z－x
1－x
f(x，y，z)dy． 于是 ∫
0
1
dx∫
0
1－x
dy∫
0
x+y
f(x，y，z)dz=∫
0
1
dx∫
0
x
dz∫
0
1－x
f(x，y，z)dy+∫
0
1
dz∫
x
1
dz∫
z－x
1－x
f(x，y，z)dy =∫
0
1
dz∫
z
1
dx
0
1－x
f(x，y，z)dy+∫
0
1
dz∫
0
z
dx∫
z－x
1－x
f(x，y，z)dy．
【答案解析】