某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9 000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k＝6．0×10
6
)．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg表示千克，km／h表示千米／小时)
【正确答案】正确答案：[详解1] 由题设，飞机的质量m＝9 000kg，着陆时的水平速度v
0
＝700km／h．从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)． 根据牛顿第二定律，得
， 又
， 由以上两式得
， 积分得
，由于v(0)＝v
0
，x(0)＝0，故得
，从而
。 当v(t)→0时，
。 所以，飞机滑行的最长距离为1．05km． [详解2] 根据牛顿第二定律，得
， 所以
。 两端积分得通解
代入初始条件
解得C＝v
0
， 故
。 飞机滑行的最长距离为
。 或由
， 故最长距离为当t→＋∞时，
。 [详解3] 根据牛顿第二定律，得
， 即
其特征方程为
，解之得λ
1
＝0，
， 故
， 由
， 得
。 当t→＋∞时，
， 又
， 由以上两式得
， 积分得
，由于v(0)＝v
0
，x(0)＝0，故得
，从而
。 当v(t)→0时，
。 所以，飞机滑行的最长距离为1．05km． [详解2] 根据牛顿第二定律，得
， 所以
。 两端积分得通解
代入初始条件
解得C＝v
0
， 故
。 飞机滑行的最长距离为
。 或由
， 故最长距离为当t→＋∞时，
。 [详解3] 根据牛顿第二定律，得
， 即
其特征方程为
，解之得λ
1
＝0，
， 故
， 由
， 得
。 当t→＋∞时，
【答案解析】解析：[分析] 本题是标准的牛顿第二定律的应用，列出关系式后再解微分方程即可． [评注] 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t→＋∞或v(t)→0的极限值，这种隐含的条件应引起注意．