问答题
设X在两个范数‖·‖1和‖·‖2下均为Banach空间。证明若存在α＞0使得对每个x∈X有|x‖1≤α‖x‖2，则存在β＞0使得对每个x∈x有‖x‖2≤β‖x‖1，即‖·‖1和‖·‖2等价。
【正确答案】设X1表示X赋有范数‖·‖1，X2表示X赋有范数‖·‖2。设I：X2→X1是恒等映射：JI(x)=x。它是线性的双射。若‖x‖1≤α‖x‖2，则‖Ix‖1≤α‖x‖2，所以I是有界的，因为X2和X1都是Banach空间，所以利用有界逆定理知I-1是有界的。从而存在β＞0使得对所有x∈X，‖I-1x‖2≤β‖x‖1。即对所有x∈X有‖x‖2≤β‖x‖1。这就完成了证明。
【答案解析】