【正确答案】
D
【答案解析】[解析] ①矩阵A
T
与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误．
②假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A
*
的特征向量．这是由于
[*]
但反之，α为A
*
的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n-1时，A
*
=O，此时，任意n维非零列向量都是A
*
的特征向量，故A
*
的特征向量不一定是A的特征向量．可知(B)错误．
③假设α为A的特征向量，λ为其特征值，则α为A
2
的特征向量．这是由于
A
2
α=A(Aα)=λAα=λ
2
α．
但反之，若α为A
2
的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ
1
=β
1
，Aβ
2
=-β
2
，其中β
1
，β
2
≠0．此时有A
2
(β
2
+β
2
)=A
2
β
1
+A
2
β
2
=β
1
+β
2
，可知β
1
+β
2
为A
2
的特征向量．但β
1
，β
2
是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β
1
+β
2
不是A的特征向量．故(C)错误．
④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有
[*]
因此α为A的特征向量．可知(D)是正确的．故选(D)．