解答题
17.设f(x)在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明：
(Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝
；
(Ⅱ)存在互不相同的ξ，n∈(0，1)，
(Ⅰ)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝
；(Ⅱ)存在互不相同的ξ，n∈(0，1)，
【正确答案】(Ⅰ)根据已知条件，存在a∈(0，1)，使得f(a)＝M。令F(x)＝f(x)
显然F(x)在[0，1]上连续，又因为f(0)＝0，n＞1，故
F(0)＝f(0)
F(a)＝f(a)
由零点定理可知，至少存在一点c∈(0，a)，使得F(c)＝f(c)
即f(c)＝
(Ⅱ)在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内的可导，则存在ξ∈(0，c)和η∈(c，1)，使得
f(c)-f(0)＝cf’(ξ)，①
f(1)－f(c)＝(1－c)f’(η)，②
由
结合f(0)＝f(1)＝0可得， [f’(η)－f’(ξ)]f(c)=f’(ξ)f’(η)，再由结论
可知，
显然F(x)在[0，1]上连续，又因为f(0)＝0，n＞1，故
F(0)＝f(0)
F(a)＝f(a)
由零点定理可知，至少存在一点c∈(0，a)，使得F(c)＝f(c)
即f(c)＝(Ⅱ)在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内的可导，则存在ξ∈(0，c)和η∈(c，1)，使得
f(c)-f(0)＝cf’(ξ)，①
f(1)－f(c)＝(1－c)f’(η)，②
由
结合f(0)＝f(1)＝0可得， [f’(η)－f’(ξ)]f(c)=f’(ξ)f’(η)，再由结论可知，【答案解析】