解答题
设A是n阶矩阵，证明：
问答题
22.r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量a,β,使得A=aβT；
【正确答案】若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即
【答案解析】
问答题
23.r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
【正确答案】因为r(A)=1,所以存在非零列向量a,β，使得A=aβT，显然tr(A)=(a,β),因为tr(A)≠0，所以（a,β)=k≠0.
令AX=λx,因为A2=kA,所以λ2X=kλX,或（λ2-kλ)X=0,注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k.
因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k,所以λ1=k,λ2=λ3=...=λn=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化。
令AX=λx,因为A2=kA,所以λ2X=kλX,或（λ2-kλ)X=0,注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k.
因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k,所以λ1=k,λ2=λ3=...=λn=0,由r(0E-A)=r(A)=1,得A一定可以对角化。
【答案解析】