解答题
8.设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY，化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．
【正确答案】二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3的矩阵形式为f=XTAX
其中
所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．
而｜λE－A｜=λ3－(a+4)λ2+(4a－b2+2)λ+(－3a－2b+2b2+2)，所以有
λ3－(a+4)λ2+(4a－b2+2)λ+(－3a－2b+2b2+2)=(λ－1)2(λ－4)，解得a=2，b=1．当λ1=λ2=1时，由(E－A)X=0得
由λ3=4时，由(4E－A)X=0得
显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为
其中
所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．
而｜λE－A｜=λ3－(a+4)λ2+(4a－b2+2)λ+(－3a－2b+2b2+2)，所以有
λ3－(a+4)λ2+(4a－b2+2)λ+(－3a－2b+2b2+2)=(λ－1)2(λ－4)，解得a=2，b=1．当λ1=λ2=1时，由(E－A)X=0得
由λ3=4时，由(4E－A)X=0得
显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为
【答案解析】