填空题
设A是n阶实对称矩阵，满足A
4
+2A
3
+A
2
+2A=0，若秩r(A)=r，则行列式|A+3E|= 1．
【正确答案】
【答案解析】3
n-r
[解析] 由A是实对称矩阵知A必可相似对角化，而当A～A时，A由A的n个特征值所构成．只要能求出对角矩阵A，根据|A|=∏λ
i
就可以求出行列式|A+3E|的值．
设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即Aα=λα(α≠0)，则
A 2 α=λ 2 α，A 3 α=λ 3 α，A 4 α=λ 4 α．
于是(λ 4 +2λ 3 +λ 2 +2λ)α=0，α≠0．
即有λ 4 +2λ 3 +λ 2 +2λ=λ(λ+2)(λ 2 +1)=0．
因为实对称矩阵的特征值必是实数，故A的特征值取自-2与0．那么由r(A)=r，得到
设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即Aα=λα(α≠0)，则
A 2 α=λ 2 α，A 3 α=λ 3 α，A 4 α=λ 4 α．
于是(λ 4 +2λ 3 +λ 2 +2λ)α=0，α≠0．
即有λ 4 +2λ 3 +λ 2 +2λ=λ(λ+2)(λ 2 +1)=0．
因为实对称矩阵的特征值必是实数，故A的特征值取自-2与0．那么由r(A)=r，得到