问答题
已知F(x)是f(x)的一个原函数，而F(x)是微分方程xy'+y-ex满足初始条件
的解，试将f(x)展开成x的幂级数，并求
的解，试将f(x)展开成x的幂级数，并求
【正确答案】由xy'+y=ex知(xy)'=ex，积分得xy=ex+c，当x≠0时，[*]
根据[*]有 c=-1
故[*]
于是[*]
而[*]
故[*]
于是[*]
根据[*]有 c=-1
故[*]
于是[*]
而[*]
故[*]
于是[*]
【答案解析】[分析] 求函数的幂级数展开式一般考虑用间接展开法即可，即通过恒等变形、逐项求导、逐项积分等达到求函数幂级数展开式的目的，本题先解一简单微分方程，找出满足条件[*]的F(x)，再利用[*]求幂级数展开式即可。