如图，C
1
和C
2
分别是y=1／2(1+e
x
)和y=e
x
的图形，过点(0，1)的曲线C
3
是一单调增函数的图形。过C
2
上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l
x
和l
y
。记C
1
，C
2
与l
x
所围图形的面积为S
1
(x)；C
2
，C
3
与l
y
所围图形的面积为S
2
(y)。如果总有S
1
(x)=S
2
(y)，求曲线C
3
的方程x=φ(y)。
【正确答案】正确答案：如图，有S
1
(x)=∫
0
x
[e
t
－
(1+e
t
]dt=1／2(e
x
－x－1)， S
2
(y)=∫
1
y
[lnt－φ(t)]dt， 由题设，得 1／2(e
x
－x－1)=∫
1
y
[lnt－φ(t)]dt， 而y=e
x
，于是 1／2(y－lny－1)=∫
1
y
[lnt－φ(t)]dt， 两边对y求导得 1／2(1－
)=lny－φ(y)， 故所求的函数关系为 x=φ(y)=lny－
(1+e
t
]dt=1／2(e
x
－x－1)， S
2
(y)=∫
1
y
[lnt－φ(t)]dt， 由题设，得 1／2(e
x
－x－1)=∫
1
y
[lnt－φ(t)]dt， 而y=e
x
，于是 1／2(y－lny－1)=∫
1
y
[lnt－φ(t)]dt， 两边对y求导得 1／2(1－
)=lny－φ(y)， 故所求的函数关系为 x=φ(y)=lny－
【答案解析】