问答题
设A，B为两个n阶矩阵，且A的n个特征值两两互异. 若A的特征向量恒为B的特征向量，则AB=BA.
【正确答案】反复利用特征值、特征向量的定义，利用对角矩阵乘积可交换的性质证明AB=BA．
证设X1，X2，…，Xn是A的分别属于其不同特征值λ1，λ2，…，λn的特征向量，则X1，X2，…，Xn线性无关，且AXi=λiXi，令
P=[X1，X2，…，Xn]，
则
AP=[AX1，AX2，…，AXn]=[λ1X1，λ2X2，…，λnXn]
由题设，可令BXi=μiXi(i=1，2，…，n)，则
于是
证设X1，X2，…，Xn是A的分别属于其不同特征值λ1，λ2，…，λn的特征向量，则X1，X2，…，Xn线性无关，且AXi=λiXi，令
P=[X1，X2，…，Xn]，
则
AP=[AX1，AX2，…，AXn]=[λ1X1，λ2X2，…，λnXn]
由题设，可令BXi=μiXi(i=1，2，…，n)，则
于是
【答案解析】