(2009年试题，三(20))设y=y(x)是区间(一π，π)内过点
【正确答案】正确答案：由题意，当一π
代入y
2
=一x
2
+C中，得C=π
2
，从而有y
2
=一x
2
+π
2
．又y=y(x)是区间(一π,π)内过点
的光滑曲线，故
当0≤x""+y=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx．设y
""
+y+x=0的特解为y
*
=Ax+B，代入方程得(A+1)x+B=0，则A=一1，B=0，即特解为y
"
=一x．故可知，微分方程y
""
+y+x=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx—x．因为y=y(x)是区间(一π，π)内的光滑曲线，故其在x=0处连续且可导，且
所以根据y(0
-
)=y(0
+
)可得C
1
=π；根据y
-
"
=(0)=y
+
"
(0)可得C
2
=1综上可知，y(x)的表达式为
代入y
2
=一x
2
+C中，得C=π
2
，从而有y
2
=一x
2
+π
2
．又y=y(x)是区间(一π,π)内过点
的光滑曲线，故
当0≤x""+y=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx．设y
""
+y+x=0的特解为y
*
=Ax+B，代入方程得(A+1)x+B=0，则A=一1，B=0，即特解为y
"
=一x．故可知，微分方程y
""
+y+x=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx—x．因为y=y(x)是区间(一π，π)内的光滑曲线，故其在x=0处连续且可导，且
所以根据y(0
-
)=y(0
+
)可得C
1
=π；根据y
-
"
=(0)=y
+
"
(0)可得C
2
=1综上可知，y(x)的表达式为
【答案解析】