问答题
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f"(x)＞0．若极限
存在，证明：
(Ⅰ)在(a，b)内f(x)＞0；
(Ⅱ)在(a，b)内存在点ξ，使
(Ⅲ)在(a，b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η，使
存在，证明：
(Ⅰ)在(a，b)内f(x)＞0；
(Ⅱ)在(a，b)内存在点ξ，使
(Ⅲ)在(a，b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η，使
【正确答案】
【答案解析】证法1 (Ⅰ)因为
存在，故
，由f(x)在[a，b]上连续，从而f(a)=0．又f"(x)＞0知f(x)在(a，b)内单调增加，故
f(x)＞f(a)=0，x∈(a，b)．
(Ⅱ)设F(x)=x 2 ，
，则g"(x)=f(x)＞0，故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a，b)内存在点ξ使
即
(Ⅲ)因f(ξ)=f(ξ)-0=f(ξ)-f(a)，在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在(a，ξ)内存在一点η，使f(ξ)=f"(η)(ξ-a)，从而由(Ⅱ)的结论得
即有
证法2 (Ⅰ)同证法1．
(Ⅱ)设
显然F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，
根据罗尔中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得F"(ξ)=0，即
(Ⅲ)由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知
则
．
根据拉格朗日中值定理，存在η∈(a，ξ)，使得
即
存在，故
，由f(x)在[a，b]上连续，从而f(a)=0．又f"(x)＞0知f(x)在(a，b)内单调增加，故
f(x)＞f(a)=0，x∈(a，b)．
(Ⅱ)设F(x)=x 2 ，
，则g"(x)=f(x)＞0，故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a，b)内存在点ξ使
即
(Ⅲ)因f(ξ)=f(ξ)-0=f(ξ)-f(a)，在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在(a，ξ)内存在一点η，使f(ξ)=f"(η)(ξ-a)，从而由(Ⅱ)的结论得
即有
证法2 (Ⅰ)同证法1．
(Ⅱ)设
显然F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，
根据罗尔中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得F"(ξ)=0，即
(Ⅲ)由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知
则
．
根据拉格朗日中值定理，存在η∈(a，ξ)，使得
即