问答题
设f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，r(A)=1，A的每行元素之和为2，当X=β=[2，4，0]
T
时，
求f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX在β处的值，即f(x 1 ，x 2 ，x 3 )| X=β =β T Aβ．
求f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX在β处的值，即f(x 1 ，x 2 ，x 3 )| X=β =β T Aβ．
【正确答案】
【答案解析】解：因
A有λ
1
=2，对应的特征向量为
又r(A)=1，|A|=0，故A有特征值λ
2
=λ
3
=0(二重)，对应λ
2
=λ
3
=0的特征向量设为ξ=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则ξ和ξ
1
正交．
易得ξ 2 =[1，-1，0] T ，ξ 3 =[1，1，-2] T (取ξ 2 也与ξ 3 正交)，将β由ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性表示，设为β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，由
解得x 1 =2，x 2 =-1，x 3 =1，即β=2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 ．故
f(x 1 ，x 2 ，x 3 )| X=β =β T Aβ=(2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 ) T A(2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 )
=(2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 ) T A·2ξ 1 =4(2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 ) T ξ 1
也可由A[ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 ]=[2ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 ]直接求得A，再计算β T Aβ．其中
A有λ
1
=2，对应的特征向量为
又r(A)=1，|A|=0，故A有特征值λ
2
=λ
3
=0(二重)，对应λ
2
=λ
3
=0的特征向量设为ξ=[x
1
，x
2
，x
3
]
T
，则ξ和ξ
1
正交．
易得ξ 2 =[1，-1，0] T ，ξ 3 =[1，1，-2] T (取ξ 2 也与ξ 3 正交)，将β由ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性表示，设为β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，由
解得x 1 =2，x 2 =-1，x 3 =1，即β=2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 ．故
f(x 1 ，x 2 ，x 3 )| X=β =β T Aβ=(2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 ) T A(2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 )
=(2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 ) T A·2ξ 1 =4(2ξ 1 -ξ 2 +ξ 3 ) T ξ 1
也可由A[ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 ]=[2ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 ]直接求得A，再计算β T Aβ．其中