问答题
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f"(0)≠0，f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使得当h→0时，λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小．
【正确答案】
【答案解析】[证一]只需证明存在唯一的一组实数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使
由题设和洛必达法则得
所以λ 1 +4λ 2 +9λ 3 =0．
因此，λ 1 ，λ 2 ，λ 3 应满足方程组
因为系数行列式
所以方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使得当h→0时，λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小．
[证二]由麦克劳林公式得
故有λ 1 f(h)+λ 2 f(2h)+λ 3 f(3h)-f(0)
=(λ 1 +λ 2 +λ 3 -1)f(0)+(λ 1 +2λ 2 +3λ 3 )-f"(0)h+
(λ
1
+4λ
2
+9λ
3
)f"(0)h
2
+o(h
2
)．
所以λ 1 ，λ 2 ，λ 3 应满足方程组
由题设和洛必达法则得
所以λ 1 +4λ 2 +9λ 3 =0．
因此，λ 1 ，λ 2 ，λ 3 应满足方程组
因为系数行列式
所以方程组存在唯一解，即存在唯一的一组实数λ
1
，λ
2
，λ
3
，使得当h→0时，λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h)-f(0)是比h
2
高阶的无穷小．
[证二]由麦克劳林公式得
故有λ 1 f(h)+λ 2 f(2h)+λ 3 f(3h)-f(0)
=(λ 1 +λ 2 +λ 3 -1)f(0)+(λ 1 +2λ 2 +3λ 3 )-f"(0)h+
(λ
1
+4λ
2
+9λ
3
)f"(0)h
2
+o(h
2
)．
所以λ 1 ，λ 2 ，λ 3 应满足方程组