解答题
[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．
问答题
12.根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
【正确答案】 液面的面积以πm2／min的速率均匀扩大，
因此t时刻液面面积应为π·22+πt，而液面为圆，其面积可易求得为πφ2(y)，由此可导出t与φ(y)之间的关系式．液体体积可根据旋转体的体积公式用定积分求出，又已知t时刻的液体体积为3t，据此又可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可．
设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πφ2(y)=4π+πt，
从而t=φ2(y)一4．
因此t时刻液面面积应为π·22+πt，而液面为圆，其面积可易求得为πφ2(y)，由此可导出t与φ(y)之间的关系式．液体体积可根据旋转体的体积公式用定积分求出，又已知t时刻的液体体积为3t，据此又可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可．
设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πφ2(y)=4π+πt，
从而t=φ2(y)一4．
【答案解析】
问答题
13.求曲线x=φ(y)的方程．
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分钟)
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分钟)
【正确答案】液面的高度为y时，液体的体积为π∫0yφ2(y)dy=3t=3φ2(y)一12．该式两边对y求导，得
πφ2(y)=6φ(y)φ′(y)， 即 πφ(y)=6φ′(y)．
解此微分方程，得φ(y)=C
，其中C为任意常数，由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为
x=2
πφ2(y)=6φ(y)φ′(y)， 即 πφ(y)=6φ′(y)．
解此微分方程，得φ(y)=C
，其中C为任意常数，由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为x=2
【答案解析】