问答题
设函数f(x)在[0，1]上具有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0，f(x)≠0(xε(0，1))，证明：
【正确答案】正确答案：由题设可知︱f(x)︱在[0，1]上连续，根据有界闭区间上连续函数最值定理，存在x
0
ε(0，1)，使得
在[0，x
0
]与[x
0
，1]上分别应用拉格朗日中值定理得：存在ξ
1
ε(0，x
0
)，ξ
2
ε(x
0
，1)使得
，于是
，令y=x(1-x)，则y
’
=1-2x，由y
’
=0得x=
，又y
’’
=-2，所以y=x(1-x)在x=
处取最大值
，因而
在x=
处取最小值，因此
在[0，x
0
]与[x
0
，1]上分别应用拉格朗日中值定理得：存在ξ
1
ε(0，x
0
)，ξ
2
ε(x
0
，1)使得
，于是
，令y=x(1-x)，则y
’
=1-2x，由y
’
=0得x=
，又y
’’
=-2，所以y=x(1-x)在x=
处取最大值
，因而
在x=
处取最小值，因此
【答案解析】