解答题
1.设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜
)上服从均匀分布，令U＝
)上服从均匀分布，令U＝
【正确答案】(Ⅰ)区域D如图(a)，面积为
，由题意，(X，Y)的概率密度为
(Ⅱ)由题意，
P(U≤0)＝P(U＝0)＝P(X＞Y)
D1见图(b)，G见图(c)，G1见图(d)．
可见
，
故U与X不独立．
(Ⅲ)F(z)＝P(Z≤z)＝P(U＋X≤z)＝P(U＋X≤z，U＝0)＋P(U＋X≤z，U＝1)＝P(X≤z，X＞Y)＋P(X≤z－1，X≤Y)
可见，z＜0时，F(z)＝0；
z≥2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)，P(X≤z－1，X≤Y)＝P(X≤Y)
所以F(z)＝P(X＞Y)＋P(X≤Y)＝1；
0≤z＜1时，由－1≤z－1＜0，知P(X≤z－1，X≤Y)＝0，
而P(X≤z，X＞Y)＝
，
G2见图(e)．
故F(z)＝
3z2－z3；
1≤z＜2时，P(X≤2，X＞Y)＝P(X＞Y)＝
，
这时0≤z－1＜1，有
P(X≤z－1，X≤Y)＝
，
G3见图(f)．
所以F(z)＝
，由题意，(X，Y)的概率密度为(Ⅱ)由题意，
P(U≤0)＝P(U＝0)＝P(X＞Y)
D1见图(b)，G见图(c)，G1见图(d)．
可见
，故U与X不独立．
(Ⅲ)F(z)＝P(Z≤z)＝P(U＋X≤z)＝P(U＋X≤z，U＝0)＋P(U＋X≤z，U＝1)＝P(X≤z，X＞Y)＋P(X≤z－1，X≤Y)
可见，z＜0时，F(z)＝0；
z≥2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)，P(X≤z－1，X≤Y)＝P(X≤Y)
所以F(z)＝P(X＞Y)＋P(X≤Y)＝1；
0≤z＜1时，由－1≤z－1＜0，知P(X≤z－1，X≤Y)＝0，
而P(X≤z，X＞Y)＝
，G2见图(e)．
故F(z)＝
3z2－z3；1≤z＜2时，P(X≤2，X＞Y)＝P(X＞Y)＝
，这时0≤z－1＜1，有
P(X≤z－1，X≤Y)＝
，G3见图(f)．
所以F(z)＝
【答案解析】