填空题
12.微分方程y''+4y=cos2x的通解为y=______．
- 1、
【正确答案】
1、{{*HTML*}}
【答案解析】y''+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是r2+4=0．
它的两个特征根为r1，2=±2i．因此对应的齐次方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x.
λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为
y*=x(Acos2x+Bsin2x)，
则 (y*)'=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，
(y*)''=一x(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x．
将上两式代入方程y''+4y=cos2x中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．
比较上式系数得A=0，B=
．
故原方程的通解为y=
它的两个特征根为r1，2=±2i．因此对应的齐次方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x.
λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为
y*=x(Acos2x+Bsin2x)，
则 (y*)'=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，
(y*)''=一x(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x．
将上两式代入方程y''+4y=cos2x中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．
比较上式系数得A=0，B=
．故原方程的通解为y=