问答题
设f(x)=xsinx一∫
0
x
(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
【正确答案】正确答案：将原方程改写为f(x)=xsinx一x∫
0
x
f(t)dt+tf(t)dt． 因为f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(x)也可微．两端对x求导，又原式中 令x=0，则原方程等价于 f'(x)=xcos+sinx一∫
0
x
f(t)dt，f(0)=0． ① 同理，方程右端仍可微，所以f(x)存在二阶导数，再将①中的方程两边求导并令x=0，则得①等价于 f"(x)=一xsinx+2cosx—f(x)，f'(0)=0，f(0)=0． 即y=f(x)满足微分方程的初值问题y"+y=一xsinx+2cosx，y(0)=0，y'(0)=0． ② 由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y
*
(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解为y
*
(x)=
sinx，进而方程的通解为 y=f(x)=
xsinx+C
1
cosx+C
2
sinx． ③ 由f(0)=0可知C
1
=0，而由f'(0)=0又可推出C
2
=0，所以f(x)=
sinx，进而方程的通解为 y=f(x)=
xsinx+C
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cosx+C
2
sinx． ③ 由f(0)=0可知C
1
=0，而由f'(0)=0又可推出C
2
=0，所以f(x)=
【答案解析】