解答题
8.设f(x)在(－∞，＋∞)内一阶连续可导，且
＝1．证明：
(－1)nf(
)收敛，而
f(
＝1．证明：(－1)nf()收敛，而f(
【正确答案】由
＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f(
)＝f’(ξ)
(0＜ξ＜
)．
因为
f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，当｜x｜＜δ时，f’(x)＞0，
于是存在N＞0，当n＞N时，
＜δ，
f(
)＞f(0)＝0，f(
)＜f(
)，且
＝0，
由莱布尼茨审敛法知
(－1)nf(
)收敛，
因为f(
)＝f’(ξ)
且
发散，所以
＝1得f(0)＝0，f’(0)＝1，于是f()＝f’(ξ)(0＜ξ＜)．因为
f’(x)＝f’(0)＝1，所以存在δ＞0，当｜x｜＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，
＜δ，f(
)＞f(0)＝0，f()＜f()，且＝0，由莱布尼茨审敛法知
(－1)nf()收敛，因为f(
)＝f’(ξ)且发散，所以【答案解析】