问答题 设γ 1 ，γ 2 ，…，γ t 和η 1 ，η 2 ，…，η s 分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ 1 ，γ 2 ，…，γ t 和η 1 ，η 2 ，…，η s 线性相关．
【正确答案】
【答案解析】【证】必要性
由γ 1 ，γ 2 ，…，γ t ，η 1 ，η 2 ，…，η s 线性相关，知存在k 1 ，k 2 ，…，k t ，l 1 ，l 2 ，…，l s 不全为零，使得
k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k t γ t +l 1 η 1 +l 2 η 2 +…+l s η s =0．
令ξ=k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k t γ t ，则ξ≠0(否则k 1 ，k 2 ，…，k t ，l 1 ，l 2 ，…，l s 全为0)，且ξ=-l 1 η 1 -l 2 η 2 -…-l s η s ，
即非零向量ξ既可由γ 1 ，γ 2 ，…，γ t 表示，也可由η 1 ，η 2 ，…，η s 表示，所以Ax=0和Bx=0有非零公共解．
充分性
若Ax=0和Bx=0有非零公共解，假设为ξ≠0，则ξ=k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k t γ t ，且ξ=-l 1 η 1 -l 2 η 2 -…-l s η s ，于是，存在k 1 ，k 2 ，…，k t 不全为零，存在l 1 ，l 2 ，…，l s 不全为零，使得
k 1 γ 1 +k 2 γ 2 +…+k t γ t +l 1 η 1 +l 2 η 2 +…+l s η s =0．
从而γ 1 ，γ 2 ，…，γ t ，η 1 ，η 2 ，…，η s 线性相关．