问答题
已知A=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)是4阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
是4维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1)
T
+k(1，-2，4，0)
T
，又B=(α
3
，α
2
，α
1
，β-α
4
)，求方程组Bx=α
1
-α
2
的通解．
【正确答案】
【答案解析】[解] 由方程组Ax=β的解的结构，可知
r(A)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=3，
且α 1 +2α 2 +2α 3 +α 4 =β，α 1 -2α 2 +4α 3 =0．
因为B=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，β-α 4 )=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，α 1 +2α 2 +2α 3 )，且α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，而知秩r(B)=2．
可知(4，-2，1，0) T ，(2，-4，0，1) T 是Bx=0的两个线性无关的解．
故Bx=α 1 -α 2 的通解是：(0，-1，1，0) T +k 1 (4，-2，1，0) T +k 2 (2，-4，0，1) T ．
r(A)=r(α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 )=3，
且α 1 +2α 2 +2α 3 +α 4 =β，α 1 -2α 2 +4α 3 =0．
因为B=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，β-α 4 )=(α 3 ，α 2 ，α 1 ，α 1 +2α 2 +2α 3 )，且α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，而知秩r(B)=2．
可知(4，-2，1，0) T ，(2，-4，0，1) T 是Bx=0的两个线性无关的解．
故Bx=α 1 -α 2 的通解是：(0，-1，1，0) T +k 1 (4，-2，1，0) T +k 2 (2，-4，0，1) T ．