问答题
已知λ1=6，λ2=λ3=3是实对称矩阵A的三个特征值，且对应于λ2=λ3=3的特征向量为α2=(-1，0，1)T，α3=(1，2，1)T．求A对应于λ1=6的特征向量及矩阵A．
【正确答案】这是已知全部特征值和部分特征向量反求矩阵A的问题．关键在于利用已知条件中A为实对称矩阵，而实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，依此即可求解．
设A对应于λ1=6的特征向量α1=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交，故有(
，α2)=(，α3)=0，即
解得x1=x2=x3，取α1=(1，1，1)T，即是矩阵A属于λ=6的特征向量．进一步，由A(α1，α2，α3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，
得
所以
设A对应于λ1=6的特征向量α1=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交，故有(
，α2)=(，α3)=0，即解得x1=x2=x3，取α1=(1，1，1)T，即是矩阵A属于λ=6的特征向量．进一步，由A(α1，α2，α3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，
得
所以
【答案解析】[考点提示] 矩阵特征值和特征向量的逆问题．