问答题设A、B、AB-E均为n阶可逆矩阵．

问答题若A为反对称矩阵，证明矩阵对于任意非零常数C，A+CE恒可逆；

【正确答案】

【答案解析】反证法．
若A+CE不可逆，则齐次方程组(A+CE)x=0有非零解，设为η，则
Aη=-Cη，η≠0，
左乘η ^T 得
η ^T Aη=-Cη ^T η，η≠0． ①
又因为
η ^T Aη=(η ^T Aη) ^T =η ^T A ^T η=-η ^T Aη，
所以
η ^T Aη=0．
与式①矛盾，故A+CE可逆．

问答题求(A-B ^-1 ) ^-1 -A ^-1 的逆矩阵．

【正确答案】

【答案解析】(A-B ^-1 ) ^’ -A ^-1
=(A-B ^-1 ) ^-1 -(A-B ^-1 ) ^-1 (A-B ^-1 )A ^-1
=(A-B ^-1 ) ^-1 [E-(A-B ^-1 )A ^-1 ]
=(A-B ^-1 ) ^-1 (B ^-1 A ^-1 )
=[AB(A-B ^-1 )] ^-1
=(ABA-A) ^-1 ．
所以r(A-B ^-1 ) ^-1 -A ^-1 ] ^-1 =ABA-A．