解答题
17.设线性方程组α1x1+α1x2+α3x3+α4x4=β，其中αi(i=1，2，3，4)和β均是四维列向量，有通解k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T。
(Ⅰ)问β能否由α2，α3，α4线性表出，若能表出，则写出表出式；若不能表出，请证明之；
(Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由；
(Ⅲ)求线性方程组(α1+β，α1，α2，α3，α4)x=β的通解。
(Ⅰ)问β能否由α2，α3，α4线性表出，若能表出，则写出表出式；若不能表出，请证明之；
(Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出，说明理由；
(Ⅲ)求线性方程组(α1+β，α1，α2，α3，α4)x=β的通解。
【正确答案】(Ⅰ)由已知条件可知β可由αi(i=1，2，3，4)线性表出，且
β=(4—2k)α1+(3k一1)α2+kα3+3α4，其中k为任意常数。
当k=2时，则可得到β=5α2+2α3+3α4。因此β能由α2，α3，α4线性表出。
(Ⅱ)方程组的通解为k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T，则系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为3，且一2α1+3α2+α3=0，得
α3=2α1—3α2。(*)假设α4能由α1，α2，α3线性表出，则存在不全为零的数k1，k2，k3使
α4=k1α1+k2α2+k3α3，
将(*)式代入可得
α4=k1α1+k2α2+k3α3=(k1+2k3)α1+(k2—3k3)α2，
因此可知r(α2，α3，α4)≤2，该结果与r(α1，α2，α3，α4)=3矛盾，因此α4不能由α1，
α2，α3线性表出。
(Ⅲ)因为方程组(α1，α2，α3，α4)x=β有通解k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T，因此可知
r(α1+β，α1，α2，α3，α4)=r(α1+β，α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=3，
故方程组(α1+β，α1，α2，α3，α4)x=β有解，由
0.(α1+β)+4α1一α2+0.α3+3α4=β，得η1=(0，4，一1，0，3)T；
0.(α1+β)一2α1+3α2+α3+0.α4=0，得ξ=(0，一2，3，1，0)T；
(α1+β)一α1+0.α2+0.α3+0.α4=β，得η2=(1，一1，0，0，0)T，
得所求方程组的通解为
β=(4—2k)α1+(3k一1)α2+kα3+3α4，其中k为任意常数。
当k=2时，则可得到β=5α2+2α3+3α4。因此β能由α2，α3，α4线性表出。
(Ⅱ)方程组的通解为k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T，则系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为3，且一2α1+3α2+α3=0，得
α3=2α1—3α2。(*)假设α4能由α1，α2，α3线性表出，则存在不全为零的数k1，k2，k3使
α4=k1α1+k2α2+k3α3，
将(*)式代入可得
α4=k1α1+k2α2+k3α3=(k1+2k3)α1+(k2—3k3)α2，
因此可知r(α2，α3，α4)≤2，该结果与r(α1，α2，α3，α4)=3矛盾，因此α4不能由α1，
α2，α3线性表出。
(Ⅲ)因为方程组(α1，α2，α3，α4)x=β有通解k(一2，3，1，0)T+(4，一1，0，3)T，因此可知
r(α1+β，α1，α2，α3，α4)=r(α1+β，α1，α2，α3，α4，β)=r(α1，α2，α3，α4)=3，
故方程组(α1+β，α1，α2，α3，α4)x=β有解，由
0.(α1+β)+4α1一α2+0.α3+3α4=β，得η1=(0，4，一1，0，3)T；
0.(α1+β)一2α1+3α2+α3+0.α4=0，得ξ=(0，一2，3，1，0)T；
(α1+β)一α1+0.α2+0.α3+0.α4=β，得η2=(1，一1，0，0，0)T，
得所求方程组的通解为
【答案解析】