解答题
7.已知α，β，γ不共线，证明α+β+γ=0的充要条件是α×β=β×γ=γ×α．
【正确答案】设α+β+β=0
α×β+γ×β=0
α×β－β×γ=0
α×β=β×γ．同理，由α+β+γ=0
α×γ+β×γ=0
β×γ=γ×α．
设α×β=β×γ=γ×α，则
(α+β+γ)×α=β×α+γ×α=0，
(α+β+γ)×β=α×β+γ×β=0，
(α+β+γ)×γ=α×γ+β×γ=0．
α，β，γ均与α+β+γ，共线
α×β+γ×β=0α×β－β×γ=0α×β=β×γ．同理，由α+β+γ=0α×γ+β×γ=0β×γ=γ×α．设α×β=β×γ=γ×α，则
(α+β+γ)×α=β×α+γ×α=0，
(α+β+γ)×β=α×β+γ×β=0，
(α+β+γ)×γ=α×γ+β×γ=0．
α，β，γ均与α+β+γ，共线【答案解析】