选择题设f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则φ(0，0)=0是f(x，y)在点(0，0)处可微的______

A、必要条件但非充分条件．
B、充分条件但非必要条件．
C、充分必要条件．
D、既非充分又非必要条件．

【正确答案】 C

【答案解析】 先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以[*]由于
[*]
故[*]
所以
[*]
按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·Δx+0·Δy，即f'_x(0，0)=0，f'_y(0，0)=0．
再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f'_x(0，0)与f'_y(0，0)必都存在．
[*]
其中x→0⁺时，取“+”，x→0^-时，取“-”．
由于f'_x(0，0)存在，所以φ(0，0)=-φ(0，0)，从而φ(0，0)=0．证毕．