【答案解析】[解] 在题设的积分方程中令x=0得f(0)=0，把方程改写成

由于上式右端各项都可导，因而f(x)可导，且

即 ．不难看出f"(x)也可导，且f(x)"(x)=12x ² -4f(x)，
此外还有f"(0)=1．这样一来，y=f(x)就是二阶常系数线性微分方程初值问题

的特解．由于y"+4y=0的特征根为λ ₁ =2i与λ ₂ =2i(其中i是虚数单位)，
所以其通解为y _C =C ₁ cos2x+C ₂ sin2x．
因为非齐次项是12x ² ，于是非齐次方程是y"+4y=12x ² 具有形式为y*=Ax ² +Bx+C的特解．令
y*"+4y"=2A+4(Ax ² +Bx+C)≡12x ² ，
可确定A=3，B=0， ，即 ．按通解结构定理知非齐次方程y"+4y=12x ² 的通解为
令x=0并利用y(0)=0可确定 ，在
y"=2C ₁ sin2x+2C ₂ cos2x+6x
中令x=0并利用y"(0)=1可确定 ．故所求函数