问答题
已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设a=(1，2，-1)T且满足Aa=2a．
(Ⅰ) 求该二次型表达式；
(Ⅱ) 求正交变换X=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
(Ⅲ) 若A+kE正定，求k的取值．
(Ⅰ) 求该二次型表达式；
(Ⅱ) 求正交变换X=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
(Ⅲ) 若A+kE正定，求k的取值．
【正确答案】[解] (Ⅰ)据已知条件，有
(Ⅱ)由
得矩阵A的特征值为2，2，-4．
得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T；
得λ=-4的特征向量α3=(-1，1，1)T．
将α1，α2正交化．令β1=α1，则
再对β1，β2，α3单位化，有
(Ⅱ)由
得矩阵A的特征值为2，2，-4．
得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T；
得λ=-4的特征向量α3=(-1，1，1)T．
将α1，α2正交化．令β1=α1，则
再对β1，β2，α3单位化，有
【答案解析】