设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其联合概率密度函数为
若区域D表示为D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤z}∪{(x，y)｜1≤x≤2，x-1≤y≤1}，则X的边缘概率 密度函数为
若区域D表示为D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}，则Y的边缘概率密度函数为
所以f(x，y)=f
X
(x).f
Y
(y)，即X与Y不相互独立． (Ⅱ)将D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}转化为yOz平面的区域，则 D'={(y，z)｜0≤y≤1，y≤z+y≤y+1}={(y，z)｜0≤y≤1，0≤z≤1}． 于是由卷积公式可得随机变量函数Z的概率密度函数为
(Ⅲ)因为E(xy)=∫
0
1
dy∫xydx=∫
y
y+1
(y
2
+
E(X)=∫
-∞
+∞
xf
X
(x)dx=∫
0
1
xdx+∫
1
2
x(2-x)dx=1； E(Y)=∫
-∞
+∞
xf
Y
(y)dy=∫
0
1
ydy=
所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=
若区域D表示为D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤z}∪{(x，y)｜1≤x≤2，x-1≤y≤1}，则X的边缘概率 密度函数为
若区域D表示为D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}，则Y的边缘概率密度函数为
所以f(x，y)=f
X
(x).f
Y
(y)，即X与Y不相互独立． (Ⅱ)将D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤y+1}转化为yOz平面的区域，则 D'={(y，z)｜0≤y≤1，y≤z+y≤y+1}={(y，z)｜0≤y≤1，0≤z≤1}． 于是由卷积公式可得随机变量函数Z的概率密度函数为
(Ⅲ)因为E(xy)=∫
0
1
dy∫xydx=∫
y
y+1
(y
2
+
E(X)=∫
-∞
+∞
xf
X
(x)dx=∫
0
1
xdx+∫
1
2
x(2-x)dx=1； E(Y)=∫
-∞
+∞
xf
Y
(y)dy=∫
0
1
ydy=
所以 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=
【答案解析】