本题考查管理学常识，需要结合题干及选项分析。

A项错误，工具式沟通，是指发送者将信息、知识、想法、要求传达给接受者，目的是影响改变接受者的行为。故张某对其下属的安慰疏导不属于工具式沟通。

B项正确，感情式沟通，是指沟通双方表达情感，获得对方精神上的同情和谅解，最终改善相互之间的人际关系。故张某对其下属的安慰疏导属于感情式沟通。

C项错误，正式沟通，是指在组织系统内，依据组织明文规定的原则进行的信息传递与交流。例如组织与组织之间的公函来往、组织内部的文件传达、召开会议、上下级之间的定期情报交换等。张某是私下对其下属进行安慰疏导，故不属于正式沟通。

D项正确，非正式沟通是一种通过正式规章制度和正式组织程序以外的其他各种渠道进行的沟通。张某私下对其下属进行安慰疏导属于非正式沟通。

故正确答案为BD。