问答题
已知4阶方阵A=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，其中α
2
，α
3
，α
4
线性无关，α
1
=2α
2
-α
3
，如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，求线性方程组AX=β的通解．
【正确答案】
【答案解析】【解】方法一 由α
1
=2α
2
-α
3
及α
2
，α
3
，α
4
线性无关组知r(A)=r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=3．且对应齐次方程组AX=0有通解k[1，-2，1，0]T，又β=α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，即
故非齐次方程组有特解η=[1，1，1，1] T ，故方程组的通解为k[1，-2，1，0] T +[1，1，1，1] T ．
方法二
故方程有两特解η 1 =[1，1，1，1] T ，η 2 =[0，3，0，1] T ．
对r(A)=3，故方程组的通解为
k(η 1 -η 2 )+η 1 =k[1，-2，1，0] T +[1，1，1，1] T ．
方法三 由AX=[α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ]X=β=α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ，得
x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4 =α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ．
将α 1 =2α 2 -α 3 代入，整理得
(2x 1 +x 2 -3)α 2 +(-x 1 +x 3 )α 3 +(x 4 -1)α 4 =0，
α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，得
解方程组，得
故非齐次方程组有特解η=[1，1，1，1] T ，故方程组的通解为k[1，-2，1，0] T +[1，1，1，1] T ．
方法二
故方程有两特解η 1 =[1，1，1，1] T ，η 2 =[0，3，0，1] T ．
对r(A)=3，故方程组的通解为
k(η 1 -η 2 )+η 1 =k[1，-2，1，0] T +[1，1，1，1] T ．
方法三 由AX=[α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ]X=β=α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ，得
x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4 =α 1 +α 2 +α 3 +α 4 ．
将α 1 =2α 2 -α 3 代入，整理得
(2x 1 +x 2 -3)α 2 +(-x 1 +x 3 )α 3 +(x 4 -1)α 4 =0，
α 2 ，α 3 ，α 4 线性无关，得
解方程组，得