(2003试题，十)已知平面上三条不同直线的方程分别为l
1
：ax+2by+3c=0；l
2
：bx+2cy+3a=0；l
3
：cx+2ay+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
【正确答案】正确答案：根据题设，三条直线交于一点等价于方程组
有唯一解．显然方程组的系数矩阵为
相应的增广矩阵为
必要性由于方程组解唯一，因此必有rA=
=2。从而
=0，即
=3(a+b+c)[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
]=0因为已由题设知三条直线不同，因此a，b，c不全同，因而[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
]≠0只有a+b+c=0从而必要性成立．充分性由(a+b+c)=0，有
，从而
．由于
和A中共有的子块
的行列式为
所以
且rA=2，因此原方程组有唯一解，即充分性也成立．解析二必要性，设三条直线相交于一点(x
0
,y
0
)，则
为Ax=0的非零解，其中
从而得｜A｜=0，即
又依题知(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
≠0，故有a+b+c=0充分性，线性方程组
中的三个等式相加，且由a+b+c=0可得，方程组①等价于
又
有唯一解．显然方程组的系数矩阵为
相应的增广矩阵为
必要性由于方程组解唯一，因此必有rA=
=2。从而
=0，即
=3(a+b+c)[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
]=0因为已由题设知三条直线不同，因此a，b，c不全同，因而[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
]≠0只有a+b+c=0从而必要性成立．充分性由(a+b+c)=0，有
，从而
．由于
和A中共有的子块
的行列式为
所以
且rA=2，因此原方程组有唯一解，即充分性也成立．解析二必要性，设三条直线相交于一点(x
0
,y
0
)，则
为Ax=0的非零解，其中
从而得｜A｜=0，即
又依题知(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
≠0，故有a+b+c=0充分性，线性方程组
中的三个等式相加，且由a+b+c=0可得，方程组①等价于
又
【答案解析】