问答题
二次型
，经正交变换化为标准形
，经正交变换化为标准形
【正确答案】
【答案解析】二次型矩阵为
，其标准形矩阵为
，由于二次型经正交变换化为标准形，故A与
不仅合同而且相似，由相似矩阵有相同的迹，知1+1+1=3+3+t，故t=-3．
由
故a=-2．
(Ⅱ)对λ=3，由(3E-A)X=0，求出A的两个线性无关特征向量
对λ=-3，由(-3E-A)X=0，求出A的特征向量
因为λ=3是二重根，对X 1 ，X 2 正交化，得
，
，
．
令
经X=PY变换后，f=X
T
AX化为
，其标准形矩阵为
，由于二次型经正交变换化为标准形，故A与
不仅合同而且相似，由相似矩阵有相同的迹，知1+1+1=3+3+t，故t=-3．
由
故a=-2．
(Ⅱ)对λ=3，由(3E-A)X=0，求出A的两个线性无关特征向量
X1=(1，-1，0)T，X2=(1，0，-1)T．
对λ=-3，由(-3E-A)X=0，求出A的特征向量
X3=(1，1，1)T．
因为λ=3是二重根，对X 1 ，X 2 正交化，得
β1=X1=(1，-1，0)T，
再单位化得
，
，
．
令
经X=PY变换后，f=X
T
AX化为