解答题
1.(1999年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底．抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2000N．提升速度为3 m/s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明：①l N×1 m=1 J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)
(说明：①l N×1 m=1 J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)
【正确答案】解1 作x轴如图2．6．将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功
ω=ω1+ω2+ω3
其中ω1是克服抓斗自重作的功，ω2是克服缆绳重量所作的功；ω3是提出污泥所作的功．由题设可知
ω1=400×30=12 000
dω2=50(30—x)dx
从而
在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所作的功为
dω3=3(2 000—20t)dt
将污泥从井底提升到井口共需时间
所以
则共需作功
ω=1 2 000+22 500+57 000=91 500 (J)
△解2 以时间t为积分变量，在时间间隔[t，t+dt]内克服重力所作的功为
dω=[400+(30—3t)50+(2 000—20t)=3dt
ω=ω1+ω2+ω3
其中ω1是克服抓斗自重作的功，ω2是克服缆绳重量所作的功；ω3是提出污泥所作的功．由题设可知
ω1=400×30=12 000
dω2=50(30—x)dx
从而
在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所作的功为
dω3=3(2 000—20t)dt
将污泥从井底提升到井口共需时间
所以则共需作功
ω=1 2 000+22 500+57 000=91 500 (J)
△解2 以时间t为积分变量，在时间间隔[t，t+dt]内克服重力所作的功为
dω=[400+(30—3t)50+(2 000—20t)=3dt
【答案解析】