解答题
20.设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0未知．从这批器件中任取n只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0结束，此时有k(0＜k＜n)只器件失效．
(Ⅰ)求一只器件在时间T0未失效的概率；
(Ⅱ)求λ的最大似然估计值．
(Ⅰ)求一只器件在时间T0未失效的概率；
(Ⅱ)求λ的最大似然估计值．
【正确答案】(Ⅰ)记T的分布函数为F(t)，
一只器件在t=0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}=F(T0)=1－e－λT0，在时间T－1未失效的概率为
P{T＞T－1}=1一F(T－1)=e－λT0．
(Ⅱ)考虑事件A={试验直至时间T0为止，有K只器件失效，而有N－K只未失效}的概率．
由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为
L(λ)=Cnk(1－e－λT0)k(e－λT0)n－k，这就是所求的似然函数．取对数得
lnL(λ)一1nCnk+kln(1一e－λT0)+(n－k)(一λT0)．
令
解得A的最大似然估计值为
一只器件在t=0时投入试验，则在时间T0以前失效的概率为P{T≤T0}=F(T0)=1－e－λT0，在时间T－1未失效的概率为
P{T＞T－1}=1一F(T－1)=e－λT0．
(Ⅱ)考虑事件A={试验直至时间T0为止，有K只器件失效，而有N－K只未失效}的概率．
由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件A的概率为
L(λ)=Cnk(1－e－λT0)k(e－λT0)n－k，这就是所求的似然函数．取对数得
lnL(λ)一1nCnk+kln(1一e－λT0)+(n－k)(一λT0)．
令
解得A的最大似然估计值为
【答案解析】