问答题
构造正交矩阵Q，使得Q
T
AQ是对角矩阵
【正确答案】正确答案：(1)先求特征值
A的特征值为0，2，6． 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解，
得AX=0的同解方程组
求得一个非零解为(1，1，一1)
T
，单位化得
属于2的特征向量是齐次方程组(A一2E)X=0的非零解，
得AX=0的同解方程组
求得一个非零解为(1，一1，0)
T
，单位化得
属于6的特征向量是齐次方程组(A一6E)X=0的非零解，
得AX=0的同解方程组
求得一个非零解为(1，1，2)
T
，单位化得
作正交矩阵 Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)，则Q
T
AQ=Q
-1
AQ=
(2)先求特征值 |λE—A|=
=(λ一1)
2
(λ一10)． A的特征值为1，1，10． 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A—E)X=0的非零解，
得(A—E)X=0的同解方程组x
1
+2x
2
—2x
3
=0， 显然α
1
=(0，1，1)
T
是一个解．第2个解取为α
2
=(c，一1，1)
T
(保证了与α
1
的正交性!)，代入方程求出c=4，即α
2
=(4，一1，1)
T
． 令γ
1
=α
1
/‖α
1
‖=
,γ
2
=α
2
/‖α
2
‖=
再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A一10E)X=0的非零解(1，2，一2)
T
，令 γ
3
=α
3
／‖α
3
‖=(1，2，一2)
T
／3． 作正交矩阵Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)． 则 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=
A的特征值为0，2，6． 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解，
得AX=0的同解方程组
求得一个非零解为(1，1，一1)
T
，单位化得
属于2的特征向量是齐次方程组(A一2E)X=0的非零解，
得AX=0的同解方程组
求得一个非零解为(1，一1，0)
T
，单位化得
属于6的特征向量是齐次方程组(A一6E)X=0的非零解，
得AX=0的同解方程组
求得一个非零解为(1，1，2)
T
，单位化得
作正交矩阵 Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)，则Q
T
AQ=Q
-1
AQ=
(2)先求特征值 |λE—A|=
=(λ一1)
2
(λ一10)． A的特征值为1，1，10． 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A—E)X=0的非零解，
得(A—E)X=0的同解方程组x
1
+2x
2
—2x
3
=0， 显然α
1
=(0，1，1)
T
是一个解．第2个解取为α
2
=(c，一1，1)
T
(保证了与α
1
的正交性!)，代入方程求出c=4，即α
2
=(4，一1，1)
T
． 令γ
1
=α
1
/‖α
1
‖=
,γ
2
=α
2
/‖α
2
‖=
再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A一10E)X=0的非零解(1，2，一2)
T
，令 γ
3
=α
3
／‖α
3
‖=(1，2，一2)
T
／3． 作正交矩阵Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)． 则 Q
T
AQ=Q
-1
AQ=
【答案解析】