解答题
7.(2010年)设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
f(x，y)=Ae-2x2+2xy-y2，-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，
求常数A及条件概率密度fY｜X(y｜x)。
f(x，y)=Ae-2x2+2xy-y2，-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，
求常数A及条件概率密度fY｜X(y｜x)。
【正确答案】由概率密度的性质∫-∞+∞∫-∞+∞f(x，y)dxdy=1，可知
∫-∞+∞∫-∞+∞Ae-2x2+2xy-y2dxdy=A∫-∞+∞e-x2dx∫-∞+∞e-(x-y)2dy=1，
又知∫-∞+∞e-x2dx=
，有
∫-∞+∞e-x2dx∫-∞+∞e-(x-y)2dy=
∫-∞+∞e-(y-x)2d(y-x)=
=π，
所以A=
e-2x2+2xy-y2。
X的边缘概率密度为
∫-∞+∞∫-∞+∞Ae-2x2+2xy-y2dxdy=A∫-∞+∞e-x2dx∫-∞+∞e-(x-y)2dy=1，
又知∫-∞+∞e-x2dx=
，有∫-∞+∞e-x2dx∫-∞+∞e-(x-y)2dy=
∫-∞+∞e-(y-x)2d(y-x)==π，所以A=
e-2x2+2xy-y2。X的边缘概率密度为
【答案解析】