设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA，证明：B相似于对角阵．
【正确答案】正确答案：A有n个互不相同的特征值，故存在可逆阵P，使得P
-1
AP=diag(λ
1
，λ
2
，…，λ
n
)=A
1
，其中λ
i
，i=1，2，…，n是A的特征值，且λ
i
≠λ
j
(i≠j)． 又AB=BA，故P
-1
APP
-1
BP=P
-1
BPP
-1
AP，即 A
1
P
-1
BP=P
-1
BPA
1
． 设P
-1
BP=(c
ij
)
n×n
，则
比较对应元素λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
，即(λ
i
一λ
j
)c
ij
=0，λ
i
≠λ
j
(i≠j)．得c
ij
=0，于是
比较对应元素λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
，即(λ
i
一λ
j
)c
ij
=0，λ
i
≠λ
j
(i≠j)．得c
ij
=0，于是
【答案解析】