问答题
若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必与对角矩阵相似．
现取n个单位向量
ε i =(0，…，0，1，0，…，0) T ，(i=1，2，…，n)
为A的特征向量，其特征值分别为λ 1 ，λ 2 ，…，λ n ，那么令P=(ε 1 ，ε 2 ，…，ε n )=E，有
如果λ 1 ≠λ 2 ，则A(ε 1 +ε 2 )=λ 1 ε 1 +λ 2 ε 2 ．
因为每个n维向量都是A的特征向量，又应有A(ε 1 +ε 2 )=λ(ε 1 +ε 2 )，于是
(λ 1 -λ)ε 1 +(λ 2 -λ)ε 2 =0．
由于λ 1 -λ，λ 2 -λ不全为0，与ε 1 ，ε 2 线性无关相矛盾，所以必有λ 1 =λ 2 ．
同理可知λ 1 =λ 2 =…=λ n =k，故A=kE．
现取n个单位向量
ε i =(0，…，0，1，0，…，0) T ，(i=1，2，…，n)
为A的特征向量，其特征值分别为λ 1 ，λ 2 ，…，λ n ，那么令P=(ε 1 ，ε 2 ，…，ε n )=E，有
如果λ 1 ≠λ 2 ，则A(ε 1 +ε 2 )=λ 1 ε 1 +λ 2 ε 2 ．
因为每个n维向量都是A的特征向量，又应有A(ε 1 +ε 2 )=λ(ε 1 +ε 2 )，于是
(λ 1 -λ)ε 1 +(λ 2 -λ)ε 2 =0．
由于λ 1 -λ，λ 2 -λ不全为0，与ε 1 ，ε 2 线性无关相矛盾，所以必有λ 1 =λ 2 ．
同理可知λ 1 =λ 2 =…=λ n =k，故A=kE．